Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen/Beispiel

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

$V={\left\{x\mid x:\mathbb {N} \rightarrow K{\text{ Abbildung}}\right\}}$

die Menge der Folgen in ${}K$

(siehe Beispiel.). Dann sind die beiden Teilmengen

$U={\left\{x\in V\mid x{\text{ konvergiert in }}K\right\}}$

und

$C={\left\{x\in V\mid x{\text{ ist Cauchy-Folge}}\right\}}$

Untervektorräume von ${}V$ mit ${}U\subseteq C$. Die erste Aussage folgt aus Fakt (1),(3), für die zweite Aussage siehe Aufgabe.