Vektorraum/Lineare Unabhängigkeit/Auch unendlich/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K$

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination ${}\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0$ eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten ${}s_{i}$ gleich ${}0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht ${}0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann. Dies ist auch äquivalent dazu, dass man keinen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}K^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung

${}\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}=0\,$

bedeutet ja einfach

${}s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

woraus sich aus der ${}i$-ten Zeile direkt ${}s_{i}=0$ ergibt.

Beispiel

Die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}$

sind linear abhängig. Es ist nämlich

${}4{\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}-3{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Bemerkung  

Die Vektoren ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

eine nichttriviale (d.h. von ${}0$ verschiedene) Lösung besitzt.

Für eine unendliche Familie definieren wir.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Damit ist die lineare Unabhängigkeit bei einer beliebigen Familie auf den endlichen Fall zurückgeführt. Man beachte, dass es in einem Vektorraum keine unendlichen Summen gibt, ein Ausdruck wie ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }s_{n}v_{n}=0$ kann also von vornherein bei Untersuchungen zur linearen Unabhängigkeit keine Rolle spielen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein einzelner Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${}v\neq 0$ ist.
6. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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