Verband/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
Definition
Eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente ein Infimum und ein Supremum existiert, heißt Verband.
Es muss also gelten und jedes oberhalb von und von ist auch oberhalb von . Durch die allgemeine Existenz und auch dadurch, dass man oft endliche Verbände betrachtet, spielen die aus den reellen Zahlen bekannten Schwierigkeiten mit den Begriffen Infimum und Supremum hier keine Rolle.
Beispiel
Eine total geordnete Menge ist stets ein Verband, da ja zu zwei Elementen das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist.
Beispiel
Die positiven natürlichen Zahlen bilden mit der Teilbarkeit als Ordnung und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum und dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum einen Verband. Dies gilt auch für mit der Teilbarkeitsrelation, wobei dann der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache richtig zu definieren sind.
Beispiel
Es sei eine Menge und die zugehörige Potenzmenge mit der durch die Inklusion gegebenen Ordnung. Dann liegt ein Verband vor, wobei das Infimum durch den mengentheoretischen Durchschnitt und das Supremum durch die Vereinigung gegeben ist. Man spricht vom Teilmengenverband.
Das vorstehende Beispiel ist der Grund für die Wahl der Symbole und in der allgemeinen Definition eines Verbandes.
Beispiel
Es sei eine Gruppe und die Menge aller Untergruppen von . Dann ist mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Untergruppen und das Supremum ist durch die von zwei Untergruppen erzeugte Untergruppe gegeben. Man spricht vom Untergruppenverband.
Beispiel
Es sei eine endliche Körpererweiterung und die Menge aller Zwischenkörper. Dann ist mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das Kompositum von zwei Zwischenkörpern (also dem durch zwei Zwischenkörper erzeugte Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist) gegeben.
Beispiel
Wir betrachten eine Menge von Aussagen, wobei wir äquivalente Aussagen miteinander identifizieren. Dies kann man informal oder aber bezogen auf die aussagenlogische Sprache zu einer Menge von Aussagenvariablen verstehen. Im letzteren Fall sind etwa die beiden Aussagen und zueinander äquivalent (Kontraposition). Über die Implikation ist diese Menge eine Ordnung. Mit der Konjunktion (und) als Infimum und der Disjunktion (oder) als Supremum liegt ein Verband vor.
