Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel

Die abgeschlossene Kugel

${}B\left(0,r\right)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq r\right\}}\,$

ist eine ${}C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Sphäre

${}S{\left(0,r\right)}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}=r\right\}}\,$

als Rand. Dies folgt unmittelbar aus Fakt angewendet auf die differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$

die in jedem Punkt ${}\neq 0$ regulär ist.