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Wegintegral/Parabel/2/Aufgabe/Lösung
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Wegintegral
|
Parabel/2/Aufgabe
Es ist
γ
′
(
t
)
=
(
1
2
t
)
{\displaystyle {}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,}
und somit ist der
Integrand
des Wegintegrals gleich
⟨
(
t
2
+
e
t
sin
(
t
2
)
)
,
(
1
2
t
)
⟩
=
t
2
+
e
t
+
2
t
sin
(
t
2
)
.
{\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\\sin \left(t^{2}\right)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle =t^{2}+e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,.}
Eine Stammfunktion davon ist
1
3
t
3
+
e
t
−
cos
(
t
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}t^{3}+e^{t}-\cos \left(t^{2}\right).}
Somit ist
∫
γ
F
=
∫
0
1
t
2
+
e
t
+
2
t
sin
(
t
2
)
d
t
=
(
1
3
t
3
+
e
t
−
cos
(
t
2
)
)
|
0
1
=
1
3
+
e
1
−
cos
1
−
1
+
cos
0
=
1
3
+
e
−
cos
1.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}t^{2}+e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{3}+e^{t}-\cos \left(t^{2}\right)\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}+e^{1}-\cos 1-1+\cos 0\\&={\frac {1}{3}}+e-\cos 1.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
