Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}F$ und ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}\gamma$. Dann gilt mit der Substitution

${}t=g(s)\,$

unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage