Wurzel von Funktionen/Operator/Kontraktion/Aufgabe/Lösung

a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch ${}{\sqrt {f}}$ als Hintereinanderschaltung von ${}f$ und ${}{\sqrt {\,}}$ wieder stetig. Wegen

${}{\sqrt {t}}\geq t\,$

für

${}0\leq t\leq 1\,$

und

${}{\sqrt {t}}\leq t\,$

für

${}t\geq 1\,$

ist

${}a={\sqrt {a}}={\sqrt {b}}=b\,$

und somit liegt das Bild von ${}{\sqrt {f}}$ wieder in ${}[a,b]$.

b) Für ${}f,g\in M$ und ${}t\in [a,b]$ ist

${}\vert {{\sqrt {f(t)}}-{\sqrt {g(t)}}}\vert =\vert {\frac {f(t)-g(t)}{{\sqrt {f(t)}}+{\sqrt {g(t)}}}}\vert \leq \vert {f(t)-g(t)}\vert {\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}\,.$

Wegen ${}a>{\frac {1}{4}}$ ist der Faktor rechts kleiner als ${}1$. Wenn man das Supremum über alle ${}t\in [a,b]$ nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.

c) Nach Fakt ist der Raum ${}C$ der stetigen Funktionen von ${}[a,b]$ nach ${}\mathbb {R}$ ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von ${}[a,b]$ wieder in ${}[a,b]$ liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand (zur Maximumsnorm) von ${}f$ zur konstanten Funktion ${}g$ mit dem Wert ${}{\frac {a+b}{2}}$ maximal gleich ${}{\frac {a+b}{2}}$ ist. Es ist also

${}M=B\left(g,{\frac {a+b}{2}}\right)\subseteq C\,$

ein abgeschlossener Ball in ${}C$. Daher ist ${}M$ selbst nach Aufgabe vollständig.

d) Wegen

${}{\sqrt {1}}=1\,$

ist die konstante Funktion

${}f=1\,$

der Fixpunkt von ${}H$.

Zur gelösten Aufgabe