Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung enthält ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln und damit ist ${}K_{n}\subseteq K$ nach Fakt. Insbesondere ist ${}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{}{\left(K_{n}\right)}$. Die Abbildung

$\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$

ist nach Fakt ein Isomorphismus. Wenn ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ galoissch ist, so ist ${}K$ nach Fakt auch galoissch über ${}K_{n}$ und die ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen lassen sich wegen Fakt nach ${}K$ fortsetzen.

Zur bewiesenen Aussage