Zifferndarstellung/Konvergenz/Cauchy-Folge und endliche geometrische Reihe/Textabschnitt
Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für )
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit
Bei gegebenem haben wir also für jedes die Abschätzung
Zu einem beliebig vorgegeben finden wir zuerst ein mit
und für gilt dann
Zu einer reellen Zahl
erhält man eine Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) mit den Ziffern durch die rekursive Bestimmung
die darstellt.
Zu jeder reellen Zahl in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges , , mit
da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von bilden. Bei kann man das als finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. mit ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge , in dem liegt. Die Zahl gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass eine natürliche Zahl zwischen und ist, dass ist und dass
für jedes ist. Daher ist eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich sein.
Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die kanonische Ziffernentwicklung; sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die , und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
