Fuzzylogik/Fuzzymenge

(Weitergeleitet von Zugehörigkeitsfunktion)

Einleitung

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Diese Seite behandelt den Vergleich klassischen Mengen und Fuzzymengen im Kontext der Fuzzylogik. Die Inhalten können als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Klassische Mengen als Indikatorfunktionen
  • (2) Erweiterung der Indikatorfunktion zu Zugehörigkeitsfunktion.

Fuzzymenge - Zugehörigkeitsfunktion - Menge - linguistische Wert

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Ein Fuzzymenge   wird mathematisch durch eine Funktion  , die wiederum die Gültigkeit eines linguistischen Wertes beschreibt. Der linguistische Wert ist eine sprachliche Formulierung, für den die Fuzzymenge die Gültigkeit beschreibt.

Beispiel - Fuzzymenge - Linguistischer Wert - alt

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Der linguistische Wert "alt" ist eine sprachliche Beschreibung für die Eigenschaft, die man durch eine Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion beschreibt. Die folgende Abbildung zeigt den Graph der Zugehörigkeitsfunktion.

Graph einer Zugehörigkeitsfunktion - alt

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Scharfe Menge - mindestens 18 Jahre alt

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Ein scharfe Menge kann sprachlich durch den Ausdruck "mindestens 18 Jahre alt" beschrieben werden. Dabei ist der Graph eine Treppenfunktion mit folgender Definition:

 

Grundmenge ist  .

Bemerkung - Grundraum

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Die Grundmenge   von Zugehörigkeitsfunktionen (und damit auch für Indikatorfunktionen) können über

sein. Die Wahl der Grundmenge hängt in der Praxis von dem Anwendungsfall der Fuzzylogik ab.

Mehrdimensionaler Grundraum

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Die folgende Abbildung zeigt den Graph einer zweidimensionalen Indikatorfunktion, wobei der Grundraum ein Qudrat   ist und die Teilmenge   die Form eines Halbmondes hat.

Veranschaulichung einer mehrdimensionalen Indikatorfunktion

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Mehrdimensionale Zugehörigkeitsfunktion

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Die oben dargestellte mehrdimensionale Indikatorfunktion ist nicht stetig. Erzeugt man stetige Übergänge an den Rändern der Treppe (z.B. durch Faltung mit einer Glockenkurve)

Zielsetzung

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Diese Lernressource hat das Ziel die Konsistenz der Beschreibung von Fuzzymenge durch Zugehörigkeitsfunktionen mit der klassischen Definition von Mengen zu untersuchen.

Zugehörigkeitsfunktion

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Grundlage der Fuzzylogik sind die sogenannten unscharfen Mengen (engl.: fuzzy sets). Im Gegensatz zu traditionellen Mengen, die im Kontext der Fuzzylogik auch scharfe Mengen genannt werden, wird eine unscharfe (fuzzy) Menge   nicht durch die Objekte definiert, die als Elemente   zu   gehören (entspricht  ) bzw. nicht gehören (entspricht  ), sondern für jedes   aus eine Grundmenge   wird festgelegt, zu welchem Grad   ein Element zu dieser Menge   gehört.

Definition - Messbare Zugehörigkeitsfunktion

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Sei   Maßraum und   eine messbare Funktion bzgl. der auf   eingeschränkten Borelschen  -Algebra   und der  -Algebra   auf  , dann heißt   messbare Zugehörigkeitsfunktion auf   bzgl. des dominierenden Maßes  .

Bemerkung - Maß

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Der Bezug zu einem dominierenden Maß   und einem Maßraum   hat in Hinblick auf die maßtheoretische Auswertung von Zugehörigkeitsfunktionen eine Bedeutung.

Bemerkung - Mengenzugehörigkeit

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Die Mengenzugehörigkeit wird durch Funktionen beschrieben. Mathematisch sind damit fuzzylogische Operatoren damit Operatoren auf Funktionenräumen.

Zielgruppe

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Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema klassischer Mengen und Fuzzymengen sind

  • Studierende im Fach Mathematik,
  • Studierende im Fach Informatik.

Lernvoraussetzungen

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Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Klassische Mengen und Fuzzymengen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

  • (Funktionen) Beschreibung von scharfen und unscharfen Mengen durch Funktionen
  • (Mengenoperation) Operationen auf Mengen werden durch Operationen auf Funktionenräumen.

Aufgabe für Studierende

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Erläutern Sie, warum die Abbildung, die einer Teilmenge von   in der klassische Mengenlehre die Indikatorfunktion   zuordnet, bijektiv ist.

Zugehörigkeit zu Mengen

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Lotfi Zadeh fasst die Fuzzy-Set-Theorie als Formalisierung einer graduellen Zuweisung   von Eigenschaften   zu Elementen   einer Grundmenge   auf. Die Grad   der Zugehörigkeit zu einer Menge erlaubt es, die Unschärfe der Zugehörigkeit von Objekten als Elemente der zu definierenden Mengen graduell über numerische Werte zwischen 0 und 1 anzugeben.

Beispiel - linguistischer Wert alt

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Sei   die Grundmenge, die das Alter eines Menschen numerisch angibt. Betrachtet man den linguistischen Wert "alt" wird durch eine Zugehörigkeitsfunktion  . Ein gerade geborenes Baby mit dem Alter von 0 Jahren wäre sicher nicht alt und damit würde  , während eine Person mit 98 Jahren wahrscheinlich als "alt" bezeichnet würde, also  . Der Graph der Funktion   wird man im Allgemeinen als monoton steigend annehmen.

Definition - Zugehörigkeitsfunktion

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Ein Zugehörigkeitsfunktion eine Fuzzymenge   auf einer Grundmenge   ist eine Abbildung

 

Zugehörigkeitsfunktion als individuelle Einschätzungen

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Die Fuzzy-Bewertung durch eine Zugehörigkeitsfunktion für "alt", sieht ggf. für unterschiedlich alte Personen unterschiedlich aus. Ein Kind mit 6 Jahren wird einen Erwachsenen mit 25 Jahren als "alt" bezeichnen, während eine Person mit 98 Jahren eine Person im Alter von 25 Jahren ggf. als nicht als "alt" bezeichnen würde. Zugehörigkeitsfunktionen können daher dazu verwendet werden, individuelle Interpretation eines linguistischen Wertes wie "alt" zu mathematisieren.

Fuzzy-Set-Theorie als Logik der Unschärfe

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Damit eröffnete sich eine weitergehende, linguistische Interpretation der Fuzzy-Set-Theorie als Basis einer Logik der Unschärfe. Der Begriff der Fuzzy Logic wurde zunächst auch nicht von Zadeh, sondern erst später von dem ebenfalls in Berkeley lehrenden Linguisten George Lakoff benutzt, nachdem Joseph Goguen, ein Doktorand Zadehs, eine Logik unscharfer Begriffe[1] eingeführt hatte.

Linguistische Semantik

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In der linguistischen Semantik wird seither die Fuzzylogik aber mehrheitlich als nicht geeignet angesehen, um ein Modell für Vagheit und ähnliche Phänomene der natürlichen Sprache zu liefern. Ein klassischer Aufsatz zu diesem Thema Prototype theory and Compositionality wurde von Kamp und Partee 1995[2] veröffentlicht. In dem obigen Beispiel ist "alt" ein Begriff, der über Zugehörigkeitsfunktionen eine mathematische funktionale Beschreibung erhält.

Zugehörigkeitsfunktionen als Funktionenfolgen

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Die Zugehörigkeitsfunktionen können sich in der Zeit ändern. Z.B. wird sich im Allgemeinen die Zuordnung eines Alters   mit dem eigenen Altern ebenfalls ändern. Analog kann man auf das Temperaturempfinden und den linguistischen Wert "warm" übertragen. Wenn man bei frostigen Temperature von -10 Grad in einen Raum mit 15 Grad kommt, wird man den eher als "warm" empfinden. Ist es aber außen 39 Grad im Sommer empfindet man den Innerraum eher als angenehm kühl bzw. als kalt. Daher kann man Zugehörigkeitsfunktionen im Kontext von Funktionenfolgen   betrachten, wobei   die Zugehörigkeitsfunktion zum Zeitpunkt   beschreibt.

Literatur/Quellennachweise

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  1. J. A. Goguen: The logic of inexact concepts. Synthese 19 (3/4) 1969, S. 325–373.
  2. Hans Kamp, Barbara H. Partee: Prototype theory and compositionality. Cognition, 57 (1995), S. 129–191. Für eine Suche nach Kompromissmöglichkeiten: Uli Sauerland: Vagueness in Language: The Case Against Fuzzy Logic Revisited. In P. Cintula, C. Fermüller, L. Godo, P. Hájek (eds.): Understanding Vagueness – Logical, Philosophical, and Linguistic Perspectives (Studies in Logic 36). College Publications, London 2011, S. 185–198.


Siehe auch

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Seiteninformation

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