Überlagerung/Riemannsche Fläche/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

p\colon Y\longrightarrow X

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$ , ${}i\in I$ , derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Eine Abbildung der Form

U\times F\longrightarrow U

mit einem diskreten Raum ${}F$ nennt man triviale Überlagerung von ${}U$ , der Überlagerungsraum besteht einfach aus ${}F$ -vielen disjunkten Kopien das Basisraumes ${}U$ . Zu ${}P\in F$ nennt man dann die zu ${}U$ homöomorphe Teilmenge ${}U\times \{P\}$ ein Blatt der Überlagerung über ${}U$ . Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme

{\begin{matrix}p^{-1}(U_{i})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{i}\times F_{i}&\\&\!\!\!\!\!p\searrow &\downarrow &\\&&U_{i}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen (siehe Fakt) gibt es nur einen diskreten Raum ${}F$ .

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},

eine Überlagerung. Sei ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${}w\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ein Punkt mit ${}w^{n}=z$ . Es sei ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ eine offene Umgebung, die homöomorph auf ${}U:=\varphi (V)$ abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Fakt und wegen ${}\varphi '(w)=nw^{n-1}\neq 0$ . Die Menge der ${}n$ -ten komplexen Einheitswurzeln ist

{}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,

siehe Fakt. Wir können ${}V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle ${}n$ -ten Einheitswurzeln ${}\zeta \neq 1$ die offenen Mengen ${}V$ und ${}\mu _{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist

{}\varphi ^{-1}{\left(U\right)}\cong \biguplus _{\zeta \in E_{n}}\mu _{\zeta }(V)\cong U\times E_{n}\,.

Beispiel

Die Abbildung

\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und einem Punkt ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\exp w=z$ gibt es nach Fakt eine offene Umgebung ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ , die homöomorph auf ${}U:=\exp \left(V\right)$ abbildet. Durch Verkleinern von ${}V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen ${}V$ umd ${}V+2\pi k{\mathrm {i} }$ für ${}k\neq 0$ disjunkt sind. Dann ist

{}\exp ^{-1}(U)\cong \biguplus _{k\in \mathbb {Z} }{\left(V+2k\pi {\mathrm {i} }\right)}\cong U\times \mathbb {Z} \,.

Lemma

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung und ${}X$ zusammenhängend.

Dann ist

${}p^{-1}(x)\cong p^{-1}(y)\,$

für alle ${}x,y\in X$ .

Beweis

Es sei zunächst ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Überdeckung von ${}X$ , über der die Überlagerung trivialisiert. Für ${}x,y\in U_{i}$ ist

{}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.

Es sei nun ${}X$ zusammenhängend, ${}x\in X$ fixiert und

{}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.

Dann ist ${}T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${}p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${}X\setminus T$ offen. Da ${}X$ zusammenhängend ist, gilt ${}T=X$ .

\Box

Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In Beispiel ist ${}F=\mathbb {Z} /(n)$ und in Beispiel ist ${}F=\mathbb {Z}$ .

Definition

Eine stetige Abbildung

\varphi \colon X\longrightarrow Y

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart gibt, dass ${}\varphi (U)$ offen in ${}Y$ ist und dass die Einschränkung

U\longrightarrow \varphi (U)

ein Homöomorphismus ist.

Lemma

Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$

ist ein lokaler Homöomorphismus.

Beweis

Sei ${}y\in Y$ . Zu ${}x=p(y)\in X$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart, dass ${}p^{-1}(U)$ die disjunkte Vereinigung von zu ${}U$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss ${}y$ liegen.