Additive Kategorien/Einführung/Textabschnitt

In den folgenden Definitionen bezeichnen wir die Morphismenmenge mit ${}\operatorname {Hom}$ statt mit ${}\operatorname {Mor}$ und sprechen von Homomorphismen.

Definition

Eine Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ heißt additive Kategorie, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt.

1. Für Objekte ${}A,B\in {\mathcal {A}}$ ist ${}\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}$ eine abelsche Gruppe.
2. Die Verknüpfungsabbildungen

   $\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}\times \operatorname {Hom} {\left(B,C\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,C\right)}$

   sind ${}\mathbb {Z}$-bilinear.

3. Es gibt ein Nullobjekt ${}0$.
4. Es gibt endliche direkte Summen.
5. Es gibt endliche direkte Produkte.

Definition

Zu einem Homomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus

$i\colon K\longrightarrow G$

Kern von ${}\varphi$, wenn für jedes Objekt ${}D\in {\mathcal {A}}$ der Komplex

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,G\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,H\right)}$

exakt ist.

Definition

Zu einem Homomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus

$\pi \colon H\longrightarrow C$

Kokern von ${}\varphi$, wenn für jedes Objekt ${}Z\in {\mathcal {A}}$ der Komplex

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(C,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(G,Z\right)}$

exakt ist.

Definition

Eine abelsche Kategorie ist eine additive Kategorie, die zusätzlich die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kern.
2. Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kokern.
3. Ein Monomorphismus ist der Kern seines Kokerns.
4. Ein Epimorphismus ist der Kokern seines Kerns.
5. Ein Homomorphismus, der zugleich ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist, ist ein Isomorphismus.

Definition

Eine Sequenz

$A{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}C$

in einer abelschen Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ heißt exakt, wenn es eine Faktorisierung

$A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}X\longrightarrow B$

gibt, wobei ${}X$ der Kern von ${}\beta$ und ${}\varphi$ ein Epimorphismus ist.

Definition

Ein Objekt ${}I$ in einer abelschen Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ heißt injektives Objekt, wenn es für jeden Monomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ und jeden Morphismus ${}\theta \colon M\rightarrow I$ in ${}{\mathcal {A}}$ einen Morphismus ${}{\tilde {\theta }}\colon N\rightarrow I$ mit ${}\theta ={\tilde {\theta }}\circ \varphi$ gibt.

Definition

Es sei ${}M$ ein Objekt in einer abelschen Kategorie ${}{\mathcal {A}}$. Man nennt einen exakten Komplex

$0\longrightarrow M\longrightarrow I^{0}\longrightarrow I^{1}\longrightarrow I^{2}\longrightarrow \ldots$

mit injektiven Objekten ${}I^{n}$ eine injektive Auflösung von ${}M$.

Definition

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ ein injektives Objekt ${}I$ und einen Monomorphismus ${}M\rightarrow I$ gibt.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorien mit genügend vielen injektiven Objekten und es sei

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz in ${}{\mathcal {A}}$.

Dann lässt sich eine injektive Auflösung von ${}A$ und eine injektive Auflösung von ${}C$ zu einer injektiven Auflösung von ${}B$ (als direkte Summe) zusammensetzen.

Beweis

Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Kurze exakte Sequenz/Kompatible Auflösung/Fakt/Beweis

$\Box$