Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt
Korollar
Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
sei eine -lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem eine -lineare Abbildung
Beweis
Die Abbildung
ist nach Aufgabe multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit .
Proposition
Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
sei eine -lineare Abbildung. Zu sei
Beweis
(1). Es seien gegeben und seien Urbilder davon, also . Dann ist
Nach
Fakt (1)
ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können
aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes
annehmen, dass
und
endlichdimensional
sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in
Fakt.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem mit zu zeigen, wofür es klar ist.