Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ eine ${}K$-lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.

Beweis

Die Abbildung

$V^{n}{\stackrel {\varphi \times \cdots \times \varphi }{\longrightarrow }}W^{n}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}\bigwedge ^{n}W$

ist nach Aufgabe multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.

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Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

die zugehörige ${}K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ surjektiv.
2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ injektiv.
3. Wenn ${}U$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und

   $\psi \colon U\longrightarrow V$

   eine weitere ${}K$-lineare Abbildung ist, so gilt

   ${}\bigwedge ^{n}(\varphi \circ \psi )={\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}\circ {\left(\bigwedge ^{n}\psi \right)}\,.$

Beweis

(1). Es seien ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ gegeben und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ Urbilder davon, also ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$. Dann ist

${}{\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Nach Fakt  (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Fakt.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem ${}u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ mit ${}u_{i}\in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.

$\Box$