Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Folgende Aussagen sind äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$.
   2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
   3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
   4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.
2. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind. Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.
3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$. Dann gilt für das Wegintegral

   ${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

Zur gelösten Aufgabe