Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Der topologische Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ zwei offene Mengen ${}U$ und ${}V$ gibt mit ${}x\in U,\,y\in V$ und ${}U\cap V=\emptyset$.
2. Eine Abbildung

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

   ein Prämaß auf ${}M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

   Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

   ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$

3. Man nennt die von allen Quadern

   $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

   auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

4. Unter dem Kotangentialraum an ${}P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes ${}T_{P}M$ an ${}P$.
5. Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ versehen mit den Karten

   $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

   (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

6. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Zur gelösten Aufgabe