Angeordneter Körper/Folgen/Beispiele/Textabschnitt

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen ${}0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Beispiel

Eine konstante Folge ${}x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert ${}c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes ${}\epsilon >0$ als Aufwandszahl ${}n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja

${}\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$

für alle ${}n$.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Damit gilt für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern

${}x_{n}={\frac {7n}{2^{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$. Die Anfangsglieder sind

$0,\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {21}{8}},\,{\frac {7}{4}},\,{\frac {35}{32}},\,{\frac {21}{32}},\,{\frac {49}{128}},\,{\frac {7}{32}}\ldots .$

In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Fakt gibt es nämlich ein ${}m$ derart, dass

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

für alle ${}n\geq m$ gilt. Für diese ${}n$ ist somit

${}{\frac {7n}{2^{n}}}\leq {\frac {7n}{n^{2}}}={\frac {7}{n}}\,.$

Zu einem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ kann man zusätzlich noch ${}n\geq {\frac {7}{\epsilon }}$ erreichen, daher ist dies kleinergleich ${}\epsilon$.

Bemerkung  

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}=z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ (bzw. mit Ziffern ${}z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$) und mit

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$

Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen ${}a,b$ starten und den Divisionsalgorithmus ${}a:b$ durchführen, um die Ziffern ${}z_{-i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Fakt die zugehörige Dezimalbruchfolge

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

gegen die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$.

Dann besitzt ${}x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Die Folge ${}x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element ${}B\in K$ mit

$\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

gibt.