Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Vorbereitungen/Abzählbar/Auffüllung/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass jede widerspruchsfreie Ausdrucksmenge erfüllbar ist. Die Strategie ist hierbei, sie zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge aufzufüllen und dann die vorstehende Aussage anzuwenden. Wir unterscheiden die beiden Fälle, wo die Aussagenvariablenmenge abzählbar ist und den allgemeinen Fall einer beliebigen Aussagenvariablenmenge. Letzteres erfordert stärkere mengentheoretische Hilfsmittel, nämlich das Lemma von Zorn.

Lemma

Es sei ${}V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.

Dann kann man ${}\Gamma$ durch sukzessive Hinzunahme von entweder ${}p_{n}$ oder ${}\neg p_{n}$ und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge ${}\Gamma '\supseteq \Gamma$ ergänzen.

Beweis

Es sei ${}p_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine (surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive) Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}\Gamma _{0}:=\Gamma ^{\vdash }$ keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine (endliche oder abzählbar unendliche) Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen ${}\Gamma _{n}\subseteq \Gamma _{n+1}$, wobei in ${}\Gamma _{n}$ für jede Variable ${}p_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, die Alternative entweder ${}p_{i}\in \Gamma _{n}$ oder${}\neg p_{i}\in \Gamma _{n}$ gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über ${}n\in \mathbb {N}$. Für ${}\Gamma _{0}$ ist dies richtig. Es sei ${}\Gamma _{n}$ schon konstruiert. Bei ${}p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ oder ${}\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ setzen wir

${}\Gamma _{n+1}:=\Gamma _{n}\,.$

Wegen der Widerspruchsfreiheit von ${}\Gamma _{n}$ können nicht sowohl ${}p_{n+1}$ als auch ${}\neg p_{n+1}$ zu ${}\Gamma _{n}$ gehören. Wenn weder ${}p_{n+1}$ noch ${}\neg p_{n+1}$ zu ${}\Gamma _{n}$ gehören, so setzen wir

${}\Gamma _{n+1}:={\left(\Gamma _{n}\cup {p_{n+1}}\right)}^{\vdash }\,$

(man könnte genauso gut ${}\neg p_{n+1}$ hinzunehmen). Nach Konstruktion ist ${}\Gamma _{n+1}$ abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die (Oder)-Alternative für alle Variablen ${}p_{i}$, ${}i\leq n+1$. Wenn ${}\Gamma _{n+1}$ widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere ${}\Gamma _{n}\cup \{p_{n+1}\}\vdash \neg p_{n+1}$. Dann würde aber auch ${}\Gamma _{n}\vdash p_{n+1}\rightarrow \neg p_{n+1}$ gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch ${}\Gamma _{n}\vdash \neg p_{n+1}$, also ${}\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.

Mit dieser induktiven Definition setzen wir

${}\Gamma ':=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{n}\,.$

Diese Menge ${}\Gamma '$ ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der ${}\Gamma _{n}$ einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen ${}\Gamma _{n}$ gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Alternative ${}p_{n}\in \Gamma '$ oder ${}\neg p_{n}\in \Gamma '$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und ${}\Gamma '$ ist maximal widerspruchsfrei.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge ${}\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}$ und die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\{p_{1}\rightarrow p_{2},\,p_{2}\rightarrow p_{3},\,p_{3}\rightarrow p_{4},\,\ldots \}\,.$

Diese wollen wir zu einer maximal widerspruchsfreien Menge gemäß Fakt ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt ${}p_{1}$ hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive ${}p_{i}\in \Gamma _{1}$ für alle ${}i\in \mathbb {N}$. Es ist dann ${}\Gamma _{1}$ schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt ${}\neg p_{1}$, so gehört weder ${}p_{2}$ noch ${}\neg p_{2}$ zu ${}\Gamma _{1}$. Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man ${}p_{2}$ oder ${}\neg p_{2}$ zur Definition von ${}\Gamma _{2}$ hinzunimmt, und so weiter.