Es sei
, ,
ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
-
für alle
. Wenn
Fixpunkte sind, so folgt aus
-
sofort
und somit
,
es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Es sei nun
ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
-
rekursiv definierte
Folge
in . Wir setzen
-
Dann gilt für jedes
die Beziehung
-
Daher gilt aufgrund der
Dreiecksungleichung
und der
geometrischen Reihe
für
die Beziehung
Zu einem gegebenen
wählt man mit
-
Dies zeigt, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt, die aufgrund der
Vollständigkeit
gegen ein
konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert sein muss.