Es sei
,
,
ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
-
![{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3698dbc7a4a957d478850602484f308b318118)
für alle
. Wenn
Fixpunkte sind, so folgt aus
-
![{\displaystyle {}d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b39f5e7e92a46fadf4dcb6c1d131ea35a43b60c)
sofort
und somit
,
es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Es sei nun
ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
-
rekursiv definierte
Folge
in
. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}a=d{\left(f(x),x\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47efa50b5baacd36b64ff5383f63431735a0edcb)
Dann gilt für jedes
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bccdd94a72e5c64124f96217219daf1cca2ec94)
Daher gilt aufgrund der
Dreiecksungleichung
und der
geometrischen Reihe
für
die Beziehung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0b26a7b0b549792e75c1146b709415f045a9c5)
Zu einem gegebenen
wählt man
mit
-
![{\displaystyle {}c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab7fd4fe16bff07acdbecc42084d79ab26530b6)
Dies zeigt, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt, die aufgrund der
Vollständigkeit
gegen ein
konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses
ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge
konvergiert gegen
, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert
sein muss.