Beringter Raum/Einführung/Textabschnitt
Definition
Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.
Ein beringter Raum wird oft in der Form angegeben, wobei der zugrunde liegende Raum ist und die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge und den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel bzw. Beispiel haben wir die folgenden Standardbeispiele.
Beispiel
Es sei ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge ist
ein kommutativer Ring und die Zuordnung ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.
Beispiel
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist zu jeder offenen Teilmenge durch
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.
Beispiel
Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ist zu jeder offenen Teilmenge durch
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch zu einem beringten Raum wird.
Beispiel
Es sei ein kommutativer Ring und ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung und zu einem beringten Raum.
Definition
Zu einem Punkt in einem beringten Raum nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt .
Er wird mit oder kurz mit bezeichnet.