Beringter Raum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Ein beringter Raum wird oft in der Form ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ angegeben, wobei ${}X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${}{\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {O}}_{X}(U)$ nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge ${}U\subseteq X$ und ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel bzw. Beispiel haben wir die folgenden Standardbeispiele.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring und die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch ${}X$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ durch

${}C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ durch

${}C^{1}(U,{\mathbb {C} })={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}X=\{P\}$ ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}):=R$ und ${}\Gamma (\emptyset ,{\mathcal {O}}_{X}):=0$ zu einem beringten Raum.

Definition

Zu einem Punkt ${}P\in X$ in einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt ${}P$.

Er wird mit ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ oder kurz mit ${}{\mathcal {O}}_{P}$ bezeichnet.