Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede Modulgarbe ${}{\mathcal {M}}$ ist

${\mathcal {M}}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}{\mathcal {M}}_{x}$

ein injektiver ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus, wobei (für ${}x\in X$) ${}i_{*}{\mathcal {M}}_{x}$ den Vorschub des ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$-Moduls ${}{\mathcal {M}}_{x}$ (aufgefasst als Garbe auf ${}\{x\}$) unter der Einbettung ${}i\colon \{x\}\rightarrow X$ bezeichnet. Nach Fakt gibt es zu ${}{\mathcal {M}}_{x}$ einen injektiven ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$-Modul ${}I_{x}$ auf ${}x$. Wir setzen ${}{\mathcal {I}}:=\prod _{x\in X}i_{*}I_{x}$. Somit erhalten wir Inklusionen

${\mathcal {M}}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}{\mathcal {M}}_{x}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}I_{x}$

von ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Wir müssen zeigen, dass ${}{\mathcal {I}}$ injektiv ist. Es seien dazu ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ und ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}$

gegeben. Dies entspricht nach Aufgabe und wegen Fakt einem Element ${}(\varphi _{x})\in \prod _{x\in X}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\left({\mathcal {F}},i_{*}I_{x}\right)}=\prod _{x\in X}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}{\left({\mathcal {F}}_{x},I_{x}\right)}$. Zu jedem ${}\varphi _{x}$ gibt es eine Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}_{x}\colon {\mathcal {G}}_{x}\rightarrow I_{x}$ und diese setzen sich zu einer Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon {\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {I}}$

zusammen.

Zur bewiesenen Aussage