Beringter Raum/Modulgarben/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung
die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.
Es ist also
Lemma
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf .
Dann ist die Homomorphismengarbe eine -Modulgarbe auf .
Beweis
Es liegt die Beziehung
vor, und rechts steht nach Fakt eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe), so dass links eine Untergarbe steht. Die -Struktur auf wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.
Definition
Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man
mit der natürlichen -Modulstruktur den dualen Modul zu .
Definition
Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe
das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.
Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung
die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe.