Bilinearform/Gradient/Textabschnitt
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum, der mit einer Bilinearform versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
- Für jeden Vektor sind die Zuordnungen
und
-linear.
- Die Zuordnung
ist -linear.
- Wenn nicht ausgeartet ist, so ist die Zuordnung in (2) injektiv. Ist zusätzlich endlichdimensional, so ist diese Zuordnung bijektiv.
(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Seien
und
.
Dann ist für jeden Vektor
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der
Kern
davon trivial ist. Es sei also
so, dass die Nullabbildung ist. D.h.
für alle
.
Dann muss aber nach der Definition von
nicht ausgeartet
sein.
Wenn endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach
Fakt
bijektiv.
Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine fixierte nichtausgeartete Bilinearform gibt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Genauer: es gibt dann einen Vektor
mit
für alle und einen Vektor mit
In dieser Situation heißt der Linksgradient zu bezüglich der Bilinearform und der Rechtsgradient. Bei einem Skalarprodukt und generell bei einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform (siehe weiter unten) fallen die beiden Begriffe zusammen, man spricht von dem Gradienten. Für euklidische Vektorräume formulieren wir diese Beziehung noch einmal explizit.
Es sei ein euklidischer Vektorraum und
eine Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor mit
Wenn eine Orthonormalbasis von und ist, so ist dieser Vektor gleich .
Dies folgt unmittelbar aus Fakt (3). Der Zusatz ist klar wegen