Binäre quadratische Form/Einführung/Textabschnitt

Definition

Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt

$aX^{2}+bXY+cY^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Die ${}a,b,c$ heißen die Koeffizienten der quadratischen Form. Wir fassen eine binäre quadratische Form ${}F$ als eine Abbildung

$\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(x,y)\longmapsto ax^{2}+bxy+cy^{2},$

auf. Die Matrix

${\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}$

heißt die Gramsche Matrix zur Form ${}F$. Mit ihr kann man

${}F(x,y)=\left(x,\,y\right){\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

schreiben.

Definition

Zu einer binären quadratischen Form

$aX^{2}+bXY+cY^{2}$

nennt man

$b^{2}-4ac$

die Diskriminante der Form.

Die Diskriminante kann man auch als ${}-1{\frac {1}{4}}$ der Determinante von ${}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}$ ansehen. Wir werden diese Diskriminante bald mit der Diskriminante eines quadratischen Zahlbereiches in Verbindung bringen.

Definition

Man sagt, dass eine ganze Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form

$aX^{2}+bXY+cY^{2}$

darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen ${}(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit

${}n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$

gibt.

Die Zahlen ${}a,c,a+b+c$ sind unmittelbar darstellbar. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Mengen aller darstellbaren Zahlen zu beschreiben. Für die quadratische Form ${}X^{2}+Y^{2}$ bedeutet die Darstellbarkeit, dass ${}n$ eine Summe von zwei Quadraten ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung der Faktorzerlegung in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ hilfreich.

Definition

Eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ heißt einfach, wenn die Koeffizienten ${}a,b,c$ teilerfremd sind.

Wenn ${}g$ der größte gemeinsame Teiler von ${}a,b,c$ ist, so nennt man die durch

${\frac {a}{g}}X^{2}+{\frac {b}{g}}XY+{\frac {c}{g}}Y^{2}$

gegebene Form die Vereinfachung der ursprünglichen Form. Es handelt sich dann um eine einfache Form.

Zu einer Matrix ${}M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ mit ganzzahligen Einträgen ${}r,s,t,u\in \mathbb {Z}$ und einer binären quadratischen Form ${}F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ erhält man durch die Hintereinanderschaltung

$\mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$

die neue quadratische Form ${}F'=F\circ M$. Wenn man die Variablen links mit ${}V,W$ bezeichnet, so liegt insgesamt die quadratische Form vor, die ein Tupel ${}(v,w)$ auf

${}{\begin{aligned}a{\left(rv+sw\right)}^{2}+b{\left(rv+sw\right)}{\left(tv+uw\right)}+c{\left(tv+uw\right)}^{2}&={\left(ar^{2}+brt+ct^{2}\right)}v^{2}+{\left(2ars+bru+bst+2ctu\right)}vw+{\left(as^{2}+bsu+cu^{2}\right)}w^{2}\\\end{aligned}}$

abbildet. Die neuen Koeffizienten der transformierten Form sind also

$a'=ar^{2}+brt+ct^{2},\,\,b'=2ars+bru+bst+2ctu\,{\text{ und }}\,c'=as^{2}+bsu+cu^{2}.$

Dies können wir auch als Matrixgleichung als

${}{\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$

schreiben, siehe Aufgabe. Die Matrix ${}M$ ist über ${}\mathbb {Z}$ genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist, siehe Aufgabe. Bei einer solchen invertierbaren Transformation ändern sich wesentliche Eigenschaften der Form nicht.

Definition

Zwei binäre quadratische Formen

$F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$

heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare ${}2\times 2$-Matrix ${}M$ mit

${}F'=FM\,$

gibt.

Definition

Zwei binäre quadratische Formen

$F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$

heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige ${}2\times 2$-Matrix ${}M$ mit Determinante ${}1$ und mit

${}F'=FM\,$

gibt.

Die Formen ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ und ${}aX^{2}-bXY+cY^{2}$ sind zueinander (über die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$) äquivalent, aber im Allgemeinen nicht strikt äquivalent.

Lemma

1. Die Äquivalenz und die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen ist eine Äquivalenzrelation.
2. Die Diskriminante einer binären quadratischen Form hängt nur von deren Äquivalenzklasse ab.
3. Die dargestellen Zahlen hängen nur von der Äquivalenzklasse der Form ab.

Beweis

1. Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über ${}\mathbb {Z}$) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
2. Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also

   ${}{\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$

   Der Determinantenmultiplikationssatz liefert

   ${}{\begin{aligned}\operatorname {diskr} (F)&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}\\&=-4\cdot (\pm 1)\det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}(\pm 1)\\&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}\\&=\operatorname {diskr} (F).\end{aligned}}$

3. Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&\\&\!\!\!\!\!F'\searrow &\downarrow F\!\!\!\!\!&\\&&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\!\!\!\,.\\\end{matrix}}$

$\Box$