Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe/Lösung


Wir gehen von dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

mit dem Kern aus. Dieser sendet einen Körperautomorphismus auf die Einschränkung , siehe Fakt. Entsprechendes gilt gemäß Fakt für die Ringautomorphismen. Sei und . Dann ist , da zur Zerlegungsgruppe von gehört, und , da die Einschränkung eben einen wohldefinierten Automorphisms auf ergibt. Also ist .

Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ein gegeben, und es sei mit

Es sei

Dabei gilt

d.h. gehört zur Faser über . Wegen und Fakt gibt es ein mit

Damit ist

Somit gehört zur Zerlegungsgruppe und dieses Element wird unter der Restriktion auf abgebildet, da ja die Restriktion von die Identität auf ist.

Der Zusatz über den Kern ist klar.