Wir gehen von dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
-
mit dem Kern aus. Dieser sendet einen Körperautomorphismus
auf die Einschränkung
,
siehe
Fakt.
Entsprechendes gilt gemäß
Fakt
für die Ringautomorphismen. Sei
und
.
Dann ist
,
da zur Zerlegungsgruppe von gehört, und
,
da die Einschränkung eben einen wohldefinierten Automorphisms auf ergibt. Also ist
.
Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ein
gegeben, und es sei
mit
-
Es sei
-
Dabei gilt
-
d.h. gehört zur Faser über . Wegen
und
Fakt
gibt es ein
mit
-
Damit ist
-
Somit gehört zur Zerlegungsgruppe und dieses Element wird unter der Restriktion auf abgebildet, da ja die Restriktion von die Identität auf ist.
Der Zusatz über den Kern ist klar.