Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fixieren die Matrix ${}B$. Es sei zunächst ${}\det B=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix ${}B$ nicht invertierbar und damit ist auch ${}A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum ${}\det A\circ B=0$. Es sei nun ${}B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

$\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.$

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ${}A\mapsto \det A$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Zeilen von ${}A$ sind, so ergibt sich ${}\delta (A)$, indem man auf die Zeilen ${}z_{1}B,\ldots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit ${}(\det B)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit ${}A=E_{n}$ startet, so ist ${}A\circ B=B$ und daher ist

${}\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage