Dezimalbrüche/Halbierung und Fünftelung/Algorithmus/2/Textabschnitt

Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl , die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler und . Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch (was für andere Primzahlen nicht stimmt). Ein wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch das gleiche ist wie Multiplikation mit (also im Wesentlichen Multiplikation mit ) und dass die Division durch das gleiche ist wie die Multiplikation mit . Daher sind diese Divisionen im Dezimalsystem algorithmisch besonders einfach durchzuführen. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen.


Es sei

ein Dezimalbruch, für den die Halbierung (also die Division durch ) durchgeführt werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer für

die Division mit Rest durch durch, d.h. man berechnet

Aus diesen Zahlen berechnet man

Dies sind die Ziffern der Halbierung von , also

Da die Ziffern zwischen und liegen, sind die zwischen und und die sind oder . Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist

Kurz gesagt: Man nehme von die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um , falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl durch und schreibe davon die Einerziffer an die -te Stelle hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch dividieren können.


Wir wollen den Dezimalbruch mit dem Verfahren halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index (die Zehntausendstel-Stelle). Es ist (das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung) , und weil ungerade ist, ist

Aus ergibt sich und da ungerade ist, ist


Aus ergibt sich und da gerade ist, ist

So fährt man fort und erhält schließlich




Der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches ist korrekt.

Die Division durch ist die Multiplikation mit , also die Multiplikation mit . Man muss also die Zahl mit multiplizieren und anschließend durch dividieren, was in der Dezimaldarstellung lediglich eine Kommaverschiebung bedeutet. Die Korrektheit des Algorithmus beruht daher auf der Korrektheit des speziellen Algorithmus für die Multiplikation mit , siehe Bemerkung.


Auch für die Division durch gibt es einen entsprechenden Algorithmus.


Es sei

ein Dezimalbruch, für den der fünfte Anteil (also die Division durch ) berechnet werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer für

die Division mit Rest durch durch, d.h. man berechnet

Aus diesen Zahlen berechnet man

Dies sind die Ziffern der Fünftelung von , also

Kurz gesagt: Man nehme von das abgerundete Fünftel (das oder ist) und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl durch und schreibe davon die Einerziffer hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch dividieren können.



Der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches ist korrekt.

Beweis

Siehe Aufgabe.