Dezimalbrüche/Halbierung und Fünftelung/Algorithmus/Textabschnitt

Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch ${}10$ teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl ${}10$, die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler ${}2$ und ${}5$. Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch (was für andere Primzahlen nicht stimmt), wobei diese Divisionen algorithmisch besonders einfach durchzuführen sind. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen.

Verfahren  

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

ein Dezimalbruch, für den die Halbierung (also die Division durch ${}2$) durchgeführt werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer ${}a_{i}$ für

${}i\geq k-1\,$

die Division mit Rest durch ${}2$ durch, d.h. man berechnet

${}a_{i}=2b_{i}+r_{i}\,.$

Aus diesen Zahlen berechnet man

${}c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$

Dies sind die Ziffern der Halbierung von ${}z$, also

${}{\frac {z}{2}}=\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\,.$

Da die Ziffern ${}a_{i}$ zwischen ${}0$ und ${}9$ liegen, sind die ${}b_{i}$ zwischen ${}0$ und ${}4$ und die ${}r_{i}$ sind ${}0$ oder ${}1$. Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist

${}c_{i}={\begin{cases}{\frac {a_{i}}{2}},\,{\text{ falls }}a_{i}{\text{ und }}a_{i+1}{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {a_{i}}{2}}+5,\,{\text{ falls }}a_{i}{\text{ gerade und }}a_{i+1}{\text{ ungerade}}\,,\\{\frac {a_{i}-1}{2}},\,{\text{ falls }}a_{i}{\text{ ungerade und }}a_{i+1}{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {a_{i}-1}{2}}+5,\,{\text{ falls }}a_{i}{\text{ und }}a_{i+1}{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Kurz gesagt: Man nehme von ${}a_{i}$ die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um ${}5$, falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl ${}a_{i+1}a_{i}$ durch ${}2$ und schreibe davon die Einerziffer an die ${}i$-te Stelle hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch ${}2$ dividieren können.

Beispiel

Wir wollen den Dezimalbruch ${}509{,}273$ mit dem Verfahren halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index ${}-4$ (die Zehntausendstel-Stelle). Es ist (das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung) ${}a_{-4}=0$, und weil ${}a_{-3}=3$ ungerade ist, ist

${}c_{-4}=5\,.$

Aus ${}a_{-3}=3$ ergibt sich ${}b_{-3}={\frac {3-1}{2}}=1$ und da ${}a_{-2}=7$ ungerade ist, ist

${}c_{-3}=6\,.$

Aus ${}a_{-2}=7$ ergibt sich ${}b_{-2}={\frac {7-1}{2}}=3$ und da ${}a_{-1}=2$ gerade ist, ist

${}c_{-2}=b_{-2}=3\,.$

So fährt man fort und erhält schließlich

$254{,}6365.$

Lemma

Der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches ist korrekt.

Beweis

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

gegeben und es sei ${}a_{i}=2b_{i}+r_{i}$ mit ${}b_{i}\in \mathbb {N}$ und ${}r_{i}$ gleich ${}0$ oder ${}1$ und

${}c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$

Da ${}a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis ${}\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit ${}2$ multiplizieren und zeigen, dass man so ${}z$ zurückerhält. Es ist

${}{\begin{aligned}2\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot {\left(b_{i}+5r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(2b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da ${}r_{k-1}$ und ${}r_{\ell +1}$ gleich ${}0$ sind.

$\Box$

Auch für die Division durch ${}5$ gibt es einen entsprechenden Algorithmus.

Verfahren  

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

ein Dezimalbruch, für den der fünfte Anteil (also die Division durch ${}5$) berechnet werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer ${}a_{i}$ für

${}i\geq k-1\,$

die Division mit Rest durch ${}5$ durch, d.h. man berechnet

${}a_{i}=5b_{i}+r_{i}\,.$

Aus diesen Zahlen berechnet man

${}c_{i}=b_{i}+2r_{i+1}\,.$

Dies sind die Ziffern der Fünftelung von ${}z$, also

${}{\frac {z}{5}}=\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\,.$

Kurz gesagt: Man nehme von ${}a_{i}$ das abgerundete Fünftel (das ${}0$ oder ${}1$ ist) und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer ${}a_{i+1}$ dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl ${}a_{i+1}a_{i}$ durch ${}5$ und schreibe davon die Einerziffer hin (die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden). Man muss also nur zweistellige Zahlen durch ${}5$ dividieren können.

Lemma

Der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches ist korrekt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Ein weiterer wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch ${}2$ das gleiche ist wie Multiplikation mit ${}0,5$ (also im Wesentlichen Multiplikation mit ${}5$) und dass die Division durch ${}5$ das gleiche ist wie die Multiplikation mit ${}0,2$. Daher kann man die zuletzt genannten Ergebnisse zur Division durch ${}2$ bzw. ${}5$ auch mit Bemerkung begründen.