Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

Eine differenzierbare Kurve
$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

heißt bogenparametrisiert, wenn ${}\gamma _{1}'(t)^{2}+\cdots +\gamma _{n}'(t)^{2}=1$ für alle ${}t$ gilt.
Die beiden Kurven ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in ${}P$ , wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit
${}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$
Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$ ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$ -Differentialform
$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$ .
Die Form ${}\omega$ besitzt auf ${}U$ eine Darstellung
$\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann ist die äußere Ableitung die ${}(k+1)$ -Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$
Man nennt die Zahl
${}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,,$

wobei ${}R$ den Krümmungsoperator auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die Schnittkrümmung zu ${}v,w$ in ${}P$ .

Zur gelösten Aufgabe