Differenzenquotient/D offen K/Einführung/Textabschnitt

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte ${}(a,f(a))$ und ${}(x,f(x))$, diese Situation wird auch durch das Steigungsdreieck dargestellt. Für ${}x=a$ ist dieser Differenzenquotient nicht definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für ${}x\rightarrow a$ existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der „Tangente“.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Die Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist, falls sie existiert, ein Element in ${}{\mathbb {K} }$. Häufig nimmt man die Differenz ${}h=x-a$ als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt ${}h$ gegen ${}0$ gehen, d.h. man betrachtet

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Die Bedingung ${}x\in D\setminus \{a\}$ wird dann zu ${}a+h\in D$, ${}h\neq 0$. Wenn die Funktion ${}f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient ${}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ die (effektive) Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten ${}a$ und ${}x$ und ${}f'(a)$ ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt ${}a$.

Beispiel

Es seien ${}s,c\in {\mathbb {K} }$ und sei

$\alpha \colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto sz+c,$

eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ betrachtet man

${}{\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {s(x-a)}{x-a}}=s\,.$

Dies ist konstant gleich ${}s$, so dass der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich ${}s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto z^{2}.$

Der Differenzenquotient zu ${}a$ und ${}a+h$ ist

${}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$

Der Limes davon für ${}h$ gegen ${}0$ ist ${}2a$. Die Ableitung ist daher ${}f'(a)=2a$.