Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Abbildung/Einführung/Textabschnitt


Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei eine Orientierung auf fixiert. Dann heißt die Abbildung

die jeden Punkt auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu .

Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der „neutralen“ - dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.



Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei eine Orientierung auf fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

  1. Die Gauß-Abbildung ist stetig.
  2. Bei ist die Gauß-Abbildung (wenn die Orientierung nach außen zeigt) die Identität oder die antipodale Abbildung.
  3. Wenn zusammenhängend ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
  4. Sei zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn ein offener Ausschnitt aus einem affin-linearen Unterraum der Dimension ist.
  1. Dies folgt aus Fakt.
  2. Klar.
  3. Klar.
  4. Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich

    Dann ist

    mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Wir können durch ersetzen ohne zu verändern. Dann ist nach Fakt

    und daher

    Die Faser zu auf ganz ist ein affin-linearer Untervektorraum.



Es sei eine offene Teilmenge und sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser von zu sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist die Gauß-Abbildung

surjektiv.

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen -dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Fakt zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von auftritt. Der Beweis von Fakt zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.