Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt

Eine ${}C^{k}$-differenzierbare Abbildung

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

von einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen nennt man auch eine ${}C^{k}$-differenzierbare Funktion. Nach Definition bedeutet das einfach, dass für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die zusammengesetzte Funktion

$f\circ \alpha ^{-1}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}C^{k}$-Funktion ist. Die Menge aller ${}C^{k}$-Funktionen auf ${}M$ werden mit ${}C^{k}(M,\mathbb {R} )$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen auf ${}M$. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. ${}f+g$ ist differenzierbar.
3. ${}f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn ${}f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch ${}f^{-1}$ differenzierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Insbesondere bilden die differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit einen kommutativen Ring.

Wenn

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte ist mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, so liefert jede Projektion ${}x_{i}$ eine differenzierbare Funktion

$x_{i}\circ \alpha \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die meistens wieder mit ${}x_{i}$ bezeichnet wird. Man sagt dann, dass die Funktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ differenzierbare Koordinaten für ${}U\subseteq M$ bilden. Für eine stetig differenzierbare Funktion

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

ist nach Definition die Funktion

$f\circ \alpha ^{-1}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbar, d.h. für jedes ${}i$ existieren die partiellen Ableitungen

${\frac {\partial (f\circ \alpha ^{-1})}{\partial x_{i}}},$

die wiederum (stetige) Funktionen auf ${}V$ sind. Daher sind

${\frac {\partial (f\circ \alpha ^{-1})}{\partial x_{i}}}\circ \alpha$

Funktionen auf ${}U$. Diese werden im Allgemeinen einfach wieder mit ${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ bezeichnet.