Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension ${}n$ vom Differenzierbarkeitsgrad ${}k$). Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine topologische Mannigfaltigkeit. Nach unserer Definition ist der Atlas ein integraler Bestandteil des Mannigfaltigkeitsbegriffs. Wichtiger als der Atlas ist aber die durch den Atlas definierte differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit. Dies wird deutlicher, wenn wir den Begriff der differenzierbaren Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten zur Verfügung haben und von diffeomorphen Mannigfaltigkeiten sprechen können.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq M$, die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.

Beispiel

Jede offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist eine ${}C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, wenn man die Identität ${}\operatorname {Id} \colon V\rightarrow V$ als Karte nimmt. Die einzige Übergangsabbildung ist dann ebenfalls diese Identität, die ein ${}C^{\infty }$-Diffeomorphismus ist. Dies ist dann eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, der aus einer einzigen Karte besteht. Man kann aber genauso gut den Atlas nehmen, der aus sämtlichen offenen Teilmengen ${}U\subseteq V$ und den zugehörigen identischen Karten ${}\varphi _{U}$ besteht. Die Übergangsabbildungen sind dann die Identitäten auf ${}U_{1}\cap U_{2}$.