Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokal integrabel/Krümmung/Fakt/Beweis

Beweis

Alle Aussagen sind lokal, man kann also direkt von einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und dem trivialen Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{r}$ ausgehen. Sei (1) erfüllt. Dann kann man weiter annehmen, dass auf ${}U$ eine Familie von ${}r$ linear unabhängigen horizontalen Schnitten ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ gegeben ist. Nach Aufgabe und Aufgabe kann man dann den Zusammenhang lokal trivialisieren. Dies ergibt (2). Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Aufgabe und auf Bemerkung. Wenn die Christoffelsymbole trivial sind, so sind die Standardschnitte horizontal und ergeben lokal horizontale Basisschnitte. Insgesamt sind also die ersten drei Formulierungen äquivalent. Wenn (2) gilt, so kann man lokal Fakt anwenden und erhält, dass der Krümmungsoperator trivial ist.

Die Richtung von (4) nach (1) ist deutlich schwieriger.

Zur bewiesenen Aussage