Differenzierbarkeit/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Unter der Kurvenlänge von ${}f$ versteht man

   $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$

2. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt total differenzierbar in ${}P$, wenn es eine ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft

   ${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

   gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

3. Der Punkt ${}P$ heißt regulär, wenn

   ${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

   ist.

4. Unter dem Tangentiaraum in ${}P$ an die Faser versteht man

   ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$

5. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$ gilt.

6. Ein metrischer Raum ${}M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}M$ konvergiert.
7. Die Abbildung ${}f$ heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${}c<1$ gibt mit

   $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$

   für alle ${}x,y\in L$.

8. Eine Kette von Untervektorräumen

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   heißt eine Fahne in ${}V$.

Zur gelösten Aufgabe