Divisible Gruppe/Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$-Modul ${}I$ heißt injektiv, wenn es für jeden ${}R$-Modul ${}M$, jeden Untermodul ${}N\subseteq M$ und jeden ${}R$-Modul-Homomorphismus ${}\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I$

gibt.

Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für ${}R=\mathbb {Z}$ wird die Sache schon komplizierter.

Definition

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}g\in G$ ein ${}h\in G$ mit ${}g=nh$ gibt.

Die Gruppe ${}\mathbb {Z}$ selbst ist nicht divisibel, dagegen ist ${}\mathbb {Q}$ als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Multiplikationsabbidung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto nx,$

surjektiv ist (man kann durch ${}n$ dividieren, daher der Name divisibel).

Lemma

Zu einer divisiblen Gruppe ${}D$

ist auch jede Restklassengruppe ${}D/H$ divisibel.

Beweis

Sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jedes ${}d\in D$ gibt es ${}e\in D$ mit ${}d=ne$. Dann gilt auch ${}[d]=n[e]$ in ${}D/H$.

$\Box$

Lemma

Zu jeder kommutativen Gruppe ${}G$

gibt es eine divisible Gruppe ${}D$ mit ${}G\subseteq D$.

Beweis

Wir schreiben ${}G=\mathbb {Z} ^{(J)}/H$ mit einer geeigneten Indexmenge ${}J$, die ein Erzeugendensystem von ${}G$ indiziere. Die freie Gruppe ${}\mathbb {Z} ^{(J)}$ kann man in die divisible Gruppe ${}\mathbb {Q} ^{(J)}$ einbetten. Daher gibt es eine Einbettung

${}G\subseteq \mathbb {Q} ^{(J)}/H\,$

und letztere ist nach Fakt divisibel.

$\Box$

Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.

Lemma

Eine kommutative Gruppe ${}G$

ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.

Lemma

Es sei ${}I$ ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow I\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

von ${}R$-Moduln.

Beweis

Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{I}\colon I\rightarrow I$ gibt es eine Fortsetzung ${}\varphi \colon B\rightarrow I$. Diese vermittelt die Spaltung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S$ eine kommutative ${}R$-Algebra und ${}I$ ein injektiver ${}R$-Modul.

Dann ist auch der ${}S$-Modul ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ injektiv.

Beweis

Es seien ${}A\subseteq B$ ${}S$-Moduln und

$\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},$

ein ${}S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass ${}\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten ${}A$ und ${}B$ als ${}R$-Moduln und wir betrachten den ${}R$-Modulhomomorphismus

$A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.$

Aufgrund der Injektivität von ${}I$ als ${}R$-Modul gibt es eine ${}R$-lineare Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

$B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),$

ein ${}S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

$S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I$

zu ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist ${}S$-linear aufgrund der ${}S$-Modulstruktur von ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$. Für ${}a\in A$ gilt ${}{\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$, sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.

$\Box$