Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	4	6	8	6	2	2	8	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Das Legendre-Symbol.
3. Eine Mersennesche Primzahl.
4. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung ${}R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
5. Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$.
6. Eine einfache binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Primzahlsatz.
3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der ${}1$ für die beiden Zahlen ${}19$ und ${}109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$

Welche Restklasse modulo ${}2071$ entspricht dem Restklassenpaar ${}(1,0)$ und welche dem Paar ${}(0,1)$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo ${}2071$, die modulo ${}19$ den Rest ${}5$ hat und die modulo ${}109$ den Rest ${}10$ hat.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {563}{1231}}\right).$

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ gibt.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie

${}\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,,$

wobei einem Paar ${}(r,s)$ die komplexe Zahl ${}r\cdot s$ entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Q} _{+}\times S_{\mathbb {Q} }^{1}\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times },\,(r,s)\longmapsto r\cdot s.$

1. Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
2. Zeige, dass jedes Quadrat aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ zum Bild gehört.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$, das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} /(29)$ die Gleichung

${}x^{4}+y^{4}+z^{4}=0\,$

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Für welche quadratfreien Zahlen mit

${}D=1\mod 4\,$

ist ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ${}A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-5$. Sei ${}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring ${}A_{-5}/{\mathfrak {a}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Zahlbereich ${}R$. Es gelte

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {f}}^{-1}\,$

ist.