Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 6 | 4 | 5 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Integritätsbereich.
- Eine Sophie-Germain-Primzahl.
- Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring .
- Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
- Ein (ganzer) Zahlbereich.
- Das Ideal zu einem effektiven Divisor in einem Zahlbereich .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Chinesische Restsatz für .
- Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
- Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es seien und es sei die Zahl mit Neunen und die Zahl mit Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
a) Bestimme die primitiven Elemente von .
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe in die Einheitengruppe an.
c) Bestimme für jede Einheit aus die Ordnung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
Aufgabe * (4 Punkte)
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen und , die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger
gegeben ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein , , mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Ergänze die Matrix
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante .