Elliptische Kurve/Isogenie/Frobenius/Textabschnitt
Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei
der -te -lineare Frobenius.
Dann ist
genau dann separabel, wenn kein Vielfaches von ist.
Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform die Gleichheit
Bei ist dies genau dann gleich , wenn ist, was bedeutet, dass ein Vielfaches von ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei in der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.
Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei
der -te -lineare Frobenius.
Dann ist
Dies folgt direkt aus Fakt.