Elliptische Kurve/Satz von Mordell-Weil/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$.

Dann ist ${}E(K)$ endlich erzeugt.

Beweis

Dies folgt mit Fakt (für ${}m=2$) aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Der Satz bedeutet also, dass die Gruppe ${}E(K)$ der ${}K$-rationalen Punkte die Form

${}E(K)\cong T\times \mathbb {Z} ^{r}\,$

besitzt, wobei ${}T$ die endliche Torsionsuntergruppe und ${}r$ der endliche Rang der elliptischen Kurve ist. Es ist im Allgemeinen schwierig, zu einer gegebenen elliptischen Kurve die Gruppenstruktur und insbesondere den Rang zu bestimmen. Wir erwähnen einige Beispiele.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}-2x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die beiden Torsionspunkte ${}(0,0),\,{\mathfrak {O}}$. Daneben gibt es noch den Punkt ${}(-1,1)$, der den torsionsfreien Teil erzeugt. Die Gruppenstruktur ist

${}E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} \,$

und ${}\left(-1,\,1\right)$ ist ein Erzeuger der torsionsfreien Komponente.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}+17$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die beiden unabhängigen Punkte ${}(-2,3)$ und ${}(2,5)$. Hier ist

${}E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$

und die angegebenen Punkte sind Erzeuger, der Rang ist also ${}2$.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}-(2\cdot 3\cdot 11\cdot 19)^{2}x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ neben den ${}2$-Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in ${}x$ entsprechen (siehe Fakt und Fakt), die drei unabhängigen Punkte ${}(-98,12376),\,(1650,43560)$ und ${}(109554,36258840)$. Hier ist

${}E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} ^{3}\,,$

der Rang ist also ${}3$.

Bemerkung  

Man vermutet, dass es keine allgemeine Schranke für den Rang einer elliptischen Kurve über ${}\mathbb {Q}$ gibt. Es ist aber schwierig, elliptische Kurven mit großen Rang anzugeben, der derzeitige Rekord liegt bei Rang ${}28$.

Bemerkung  

Der Satz von Mordell-Weil gilt auch für abelsche Varietäten über einem Zahlkörper ${}K$, d.h. auch in diesem Fall ist die Gruppe der ${}K$-rationalen Punkte ${}A(K)$ endlich erzeugt.