Elliptische Kurve/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

Für eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von ${}K$.

Definition

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper ${}K$ und einer Primzahl ${}\ell$ versteht man unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes

${}T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

Man bezeichnet hier die Primzahl mit ${}\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn ${}\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist

${}E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\,$

nach Fakt. Unter den natürlichen Abbildungen

$\ell \colon E[\ell ^{n+1}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\longrightarrow E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})$

wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie

$\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )\longrightarrow 0,$

wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die ${}\ell$-adische Komplettierung des lokalen Ringes ${}\mathbb {Z} _{(\ell )}$ am maximalen Ideal ${}(\ell )$. Diese wird mit ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie

${}T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,.$

Im Fall eines komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem komplexen Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es aber eine kanonische Isomorphie

${}T_{\ell }(E)\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \,,$

also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen ${}\ell ^{n}\Gamma$, ${}n\in \mathbb {N}$, siehe Aufgabe und Aufgabe. Da das Gitter aufgrund von Fakt die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als (${}\ell$-adische) Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.

Satz

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Eine Isogenie

   $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

   definiert einen Gruppenhomomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2}).$

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(E_{1}),T_{\ell }(E_{2})\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{K}{\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(E)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

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