Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf ${}V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ gegen ${}0$. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

${}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$

eine Linearkombination ist, so ist

${}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ gegen ${}0$ folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen ${}0$. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen: Im reellen Fall kann man von ${}V=\mathbb {R} ^{d}$ ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensystem für den ${}{\mathbb {C} }^{d}$. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert und ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\lambda$. Da nach Voraussetzung

${}\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,$

gegen ${}0$ konvergiert, muss ${}\lambda ^{n}$ gegen ${}0$ konvergieren und daher ist

${}\vert {\lambda }\vert <1\,.$

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also

${}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,$

wobei ${}k$ die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ${}\varphi _{\rm {nil}}$ ist. Die Eigenwerte von ${}\varphi$ sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils ${}\varphi _{\rm {diag}}$, sie seien mit ${}z_{j}$ bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

$p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{s}$

zu einem festen ${}s<k$ und einem Polynom ${}p(n)$. Die Diagonaleinträge von ${}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ sind (nach Diagonalisieren) von der Form

$p(n)z_{j}^{n-s}$

und wegen ${}\vert {z_{j}}\vert <1$ konvergiert dies für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}0$. Daher konvergiert ${}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung ${}\varphi _{\rm {nil}}^{s}$. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.

Zur bewiesenen Aussage