Aus (1) folgt (2). Es sei
. Wir können mit einer beliebigen
Norm
auf
und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen
-

die Folge
gegen
. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
-

eine Linearkombination ist, so ist
-

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen
gegen
folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen
. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können
annehmen: Im reellen Fall kann man von
ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den
. Es sei
ein Eigenwert und
ein Eigenvektor zu
. Da nach Voraussetzung
-

gegen
konvergiert, muss
gegen
konvergieren und daher ist
-

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir
Fakt,
es ist also
-

wobei
die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils
ist. Die Eigenwerte von
sind
nach Aufgabe
die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils
, sie seien mit
bezeichnet. Die Summanden sind von der Form
-
zu einem festen
und einem Polynom
. Die Diagonaleinträge von
sind
(nach Diagonalisieren)
von der Form
-
und wegen
konvergiert dies für
gegen
. Daher konvergiert
gegen die Nullabbildung und das gilt
nach Aufgabe
auch für das Produkt mit der festen Abbildung
. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.