Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Umkehrsatz/Textabschnitt

Satz

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten ${}{\hat {f}}$ bzw. ${}{\hat {g}}$.

Dann gilt

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\hat {g}}d\lambda ^{n}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}gd\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach dem Satz von Fubini

${}{\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\hat {g}}d\lambda ^{n}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}}){\hat {g}}({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\right)}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\cdot f({\mathfrak {u}})\cdot g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\right)}d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}gd\lambda ^{n}.\end{aligned}}$

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Satz

Für eine stetige beschränkte Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$

gilt

${}{\hat {\hat {f}}}({\mathfrak {t}})=f(-{\mathfrak {t}})\,.$

Beweis

Wir verwenden die Hilfsfunktionen

${}h_{a,{\mathfrak {u}}}({\mathfrak {t}}):=e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }\,,$

wobei wir hier mit ${}\vert {\mathfrak {t}}\vert$ die Summennorm von ${}t$ bezeichnen. Es ist unter Verwendung von Beispiel

${}{\begin{aligned}{\hat {h_{a,{\mathfrak {u}}}}}(v)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}-v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {h_{a,0}}}(v-{\mathfrak {u}})\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+(v_{j}-{\mathfrak {u}}_{j})^{2}}}.\end{aligned}}$

Nach Fakt angewendet auf ${}f$ und ${}h_{a,v}$ ergibt

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{h_{a,{\mathfrak {u}}}}({\mathfrak {t}})\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {h_{a,{\mathfrak {u}}}}}({\mathfrak {t}})\cdot f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,.$

Daher ist auch mit der Substitution ${}{\mathfrak {t}}_{j}=as_{j}+{\mathfrak {u}}_{j}$

${}{\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {t}\vert }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+({\mathfrak {t}}_{j}-{\mathfrak {u}}_{j})^{2}}}\cdot f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+(as_{j})^{2}}}\cdot a^{n}\cdot f(as+{\mathfrak {u}})ds\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1+s_{j}^{2}}}\cdot f(as+{\mathfrak {u}})ds.\end{aligned}}$

Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für ${}a\rightarrow 0$. Die linke Seite wird dabei nach Fakt (mit der Majorante ${}\Vert {\hat {f}}\Vert$) zu ${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}$. Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von ${}f$ zu ${}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1+s_{j}^{2}}}\cdot f({\mathfrak {u}})ds$. Nach dem Satz von Fubini und Aufgabe ist dies gleich ${}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}f({\mathfrak {u}})\cdot \pi ^{n}$. Also ist insgesamt

${}{\hat {\hat {f}}}(-{\mathfrak {u}})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}={\left(2\pi \right)}^{n/2}f({\mathfrak {u}})\,.$

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