Galoisgruppe/Unauflösbarkeit/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}p$, das genau ${}p-2$ reelle Nullstellen besitzt.

Dann ist die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ gleich der Permutationsgruppe ${}S_{p}$.

Bei ${}p\geq 5$ ist diese Körpererweiterung nicht auflösbar.

Beweis

Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p-2}$ die reellen Nullstellen und ${}\alpha _{p-1},\alpha _{p}$ die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Fakt ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}\mathbb {Q} )$ in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen ${}\mathbb {Q}$-Automorphismus auf ${}L$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen ${}\alpha _{p-1}$ und ${}\alpha _{p}$ ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da ${}F$ über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist, ist ${}F$ für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Fakt gibt es somit für je zwei Nullstellen ${}\alpha$ und ${}\beta$ einen Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.

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Korollar

Es sei ${}a$ eine Primzahl und sei

${}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]\,.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Polynom ${}F$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.
2. ${}F$ besitzt drei reelle Nullstellen und darüber hinaus zwei komplexe nichtreelle Nullstellen.
3. Die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ ist die Permutationsgruppe ${}S_{5}$.
4. Die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ ist nicht auflösbar.

Beweis

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein.
(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von ${}F$. Es ist

${}F{\left(-a^{2}\right)}=-a^{10}+a^{10}-a=-a<0\,,$

${}F(-1)=-1+a^{2}-a=-1+a(a-1)>0\,,$

${}F(0)=-a<0\,$

und schließlich

${}F(1)=1+a^{2}-a>0\,.$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von ${}F$ ist

${}F'=5X^{4}+4a^{2}X^{3}=5X^{3}{\left(X+{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\,$

und besitzt die beiden reellen Nullstellen ${}0$ und ${}-{\frac {4}{5}}a^{2}$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit ${}F$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen

${}F{\left(-{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\neq 0\,$

(wegen der Irreduzibilität von ${}F$ über ${}\mathbb {Q}$) keine Nullstelle von ${}F$, sodass ${}F$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.
(3) und (4) folgen aus (1), (2) und Fakt.

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Das erste Beispiel für ein solches Polynom ist ${}X^{5}+4X^{4}-2$. Durch die Existenz solcher Polynome folgt die allgemeine Unauflösbarkeit für algebraische Gleichungen vom Grad ${}5$ und höher. Diese Aussage heißt Satz von Abel-Ruffini.

Paolo Ruffini (1765-1822)

Niels Henrik Abel (1802-1829)

Satz

Für ${}n\geq 5$

gibt es polynomiale Gleichungen (über ${}\mathbb {Q}$) vom Grad ${}n$, die nicht auflösbar sind.

Beweis

Für ${}n=5$ folgt dies direkt aus Fakt, und für ${}n\geq 6$ kann man ein unauflösbares Polynom vom Grad ${}5$ einfach mit einem beliebigen Polynom vom Grad ${}n-5$ multiplizieren.

$\Box$