Garben/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .
Diese Eigenschaften nennt man die Serreschen Bedingungen. Die erste fordert, dass man die Übereinstimmung von Schnitten lokal auf einer offenen Überdeckung überprüfen kann, die zweite fordert, dass zusammenpassende lokale Schnitte von einem globalen Schnitt herkommen. Für die leere Menge ist einelementig, was mengentheoretisch aus den Eigenschaften folgt, wenn man die Überdeckung der leeren Menge mit der leeren Indexmenge betrachtet. Stellvertretend für viele ähnliche Beispiele zeigen wir, dass die Prägarbe der Schnitte zu eine Garbe auf ist.
Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. es seien und topologische Räume und es sei
eine fixierte stetige Abbildung, und es sei
die Prägarbe der stetigen Schnitte in . Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten
direkt einen Schnitt
definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.
Zu einer topologischen Gruppe und einem topologischen Raum ist durch eine Garbe gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in . Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.
Es sei eine Garbe auf einem topologischen Raum . Es seien Schnitte gegeben, die in den Halmen für alle Punkte erfüllen.
Dann ist .
Aufgrund der Veraussetzung gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart, dass
ist. Somit ist
und aus der ersten Garbeneigenschaft folgt .