Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten Differentialgleichungen zu Vektorfeldern, die zwar nicht wie in Beispiel konstant sind, aber wo die Richtung konstant ist, wo also die Richtungsvektoren stets skalare Vielfache eines festen Vektors ${}w\in V$ sind.

Definition

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei ${}w\in V$ ein fixierter Vektor. Es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w,$

ein Vektorfeld mit konstanter Richtung.

Man erwartet direkt, dass die Lösungskurven zu einem solchen Vektorfeld sich auf einer durch den Richtungsvektor ${}w$ festgelegten Geraden bewegen.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor. Es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$

eine Funktion mit dem zugehörigen Vektorfeld mit konstanter Richtung

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w.$

Dann ist die Lösung des Anfangswertproblemes

${}v'=F(t,v)\,$

mit

${}v(t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,$

von der Form

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,,$

wobei

$\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$

mit

${}\beta (t_{0})=0\,$

ist.

Beweis

Es sei

$\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}J\subseteq I$ eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$

mit

${}\beta (t_{0})=0\,$

und sei

${}\gamma (t):={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,$

Dann ist nach Fakt  (2)

${}{\begin{aligned}\gamma '(t)&=\beta '(t)w\\&=g(t,a_{1}+\beta (t)w_{1},\ldots ,a_{n}+\beta (t)w_{n})w\\&=F(t,\gamma (t)).\end{aligned}}$

Ferner ist

${}\gamma (t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t_{0})w={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=g(t,x,y){\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}g(t,x,y)=t(x+y)\,$

und dem Anfangsvektor ${}{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ zum Zeitpunkt ${}t=0$. Gemäß Fakt müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${}z'=h(t,z):=t(2+3z+5+z)=t(4z+7)=4tz+7t\,$

mit ${}z(0)=0$ suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist ${}e^{2t^{2}}$ und die Lösungen sind

$-{\frac {7}{4}}+ce^{2t^{2}}.$

Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man ${}c={\frac {7}{4}}$ nehmen. Deshalb ist

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}+{\left(-{\frac {7}{4}}+{\frac {7}{4}}e^{2t^{2}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$

die Lösung des Anfangwertproblems.