Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Grenzfunktion nach Fakt stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Fakt. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{b-a}}\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ und alle ${}t\in [a,b]$. Daher gilt für diese ${}n$ die Abschätzung unter Verwendung von Fakt  (3) und Fakt  (6)

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt-\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert &=\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)-f(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\frac {\epsilon }{b-a}}\,dt\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage