Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien ${}B\left(P_{i},r_{i}\right)$, ${}i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in ${}U$. Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf ${}U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung ${}\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen. Zeige, dass die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von ${}f$ und von ${}f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben übereinstimmen.

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