Holomorphe Funktion/Punktiert/Residuum/Einführung/Textabschnitt
Es sei
eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei die Laurent-Entwicklung von . Dann nennt man den Koeffizienten das Residuum von in . Es wird mit bezeichnet.
Es sei und
eine auf einer punktierten offenen Umgebung von definierte holomorphe Funktion.
Dann gilt
wobei ein einfacher Umlaufweg um ist.
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Es sei eine offene Teilmenge und ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.
- Für eine
holomorphe Funktion
auf ist
- Es ist
- Für
ist
- Die Abbildung
ist -linear.
Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Fakt.
Die folgende Charakterisierung wird manchmal auch als Definition für das Residuum verwendet, da man für sie nicht die Existenz der Laurent-Entwicklung voraussetzen muss.
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von in diejenige eindeutig bestimmte Zahl mit der Eigenschaft, dass lokal eine Stammfunktion besitzt.
Es sei
die Laurent-Entwicklung von in . Entsprechend ist
Die hintere Summe besitzt lokal nach Fakt und nach Aufgabe eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich ist, also bei .
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von in genau dann gleich , wenn lokal in einer punktierten Umgebung von eine Stammfunktion besitzt.
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.