Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Funktionenmenge lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder , , beschränkt in . Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei und sei derart, dass die Funktionenfamilie auf durch die Konstante beschränkt sei. Es sei eine Standardumrundung um mit dem Radius . Dann gelten für nach Fakt, Fakt und Fakt die von unabhängigen Abschätzungen

Zu gegebenem kann man dann mit

die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.

Für die Rückrichtung siehe Aufgabe.