Es sei die Funktionenmenge lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder
, ,
beschränkt
in . Wir möchten
Fakt
anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge
gleichgradig stetig
ist. Es sei
und sei
derart, dass die Funktionenfamilie auf durch die Konstante
beschränkt
sei. Es sei eine
Standardumrundung
um mit dem Radius . Dann gelten für
nach
Fakt,
Fakt
und
Fakt
die von unabhängigen Abschätzungen
Zu gegebenem
kann man dann mit
-
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.
Für die Rückrichtung siehe
Aufgabe.