Hopf-Algebra/Operation des Gruppenschemas/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative ${}K$-Hopf-Algebra und ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Unter einer Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ versteht man einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

derart, dass die beiden Diagramme

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative ${}K$-Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

eine Kooperation von ${}H$ auf einem kommutativen Ring ${}R$ mit dem Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann nennt man den zu ${}N$ gehörenden ${}K$-Morphismus

$N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X$

eine (${}K$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas ${}G$ auf ${}X$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei ${}R$ eine weitere kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine Kooperation von ${}H$ und damit eine Operation von ${}G$ auf ${}X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ vorliege. Dann gelten folgende Aussagen (dabei ist ${}\mu =\triangle ^{*}$, ${}\nu =N^{*}$ und ${}j^{*}$ bezeichnet den Strukturmorphismus ${}X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(K\right)}$).

1. Die folgenden Diagramme von ${}K$-Morphismen kommutieren:

   ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}X&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \nu \downarrow &&\downarrow \nu \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   und

   ${\begin{matrix}X&{\stackrel {{\left(\epsilon ^{*}j^{*}\right)}\times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{X}\searrow &\downarrow \nu \!\!\!\!\!&\\&&X&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Für jede kommutative ${}K$-Algebra ${}L$ liegt eine Gruppenoperation von ${}G(L)$ auf ${}X(L)$ vor.

Beweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen.

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